แก้โจทย์ ∫ 2xleft(x^2+1right)^3 wrt x

$$\int{ 2x { \left( { x }^{ 2 } +1 \right) }^{ 3 } }d x$$

หาค่า

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} เพื่อขยาย \left(x^{2}+1\right)^{3}

$$\int 2x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 3 ให้ได้ 6

$$\int 2x\left(x^{6}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$\int 2x\left(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x ด้วย x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1

$$\int 2x^{7}+6x^{5}+6x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 2x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{5}\mathrm{d}x+\int 6x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$2\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{7}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{8}}{8} คูณ 2 ด้วย \frac{x^{8}}{8}

$$\frac{x^{8}}{4}+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{5}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{6}}{6} คูณ 6 ด้วย \frac{x^{6}}{6}

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 6 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 2 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$x^{2}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{6}+\frac{x^{8}}{4}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$2x\left(x^{2}+1\right)^{3}$$