แก้โจทย์ ∫ (y+3)(3-y)2.3 wrt y

$$\int{ (y+3)(3-y)2.3 }d y$$

หาค่า

$$-\frac{23y^{3}}{30}+\frac{207y}{10}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ y+3 กับแต่ละพจน์ของ 3-y

$$\int \left(3y-y^{2}+9-3y\right)\times 2.3\mathrm{d}y$$

รวม 3y และ -3y เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int \left(-y^{2}+9\right)\times 2.3\mathrm{d}y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -y^{2}+9 ด้วย 2.3

$$\int -2.3y^{2}+20.7\mathrm{d}y$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int -\frac{23y^{2}}{10}\mathrm{d}y+\int 20.7\mathrm{d}y$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$-\frac{23\int y^{2}\mathrm{d}y}{10}+\int 20.7\mathrm{d}y$$

เนื่องจาก \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int y^{2}\mathrm{d}y ด้วย \frac{y^{3}}{3} คูณ -2.3 ด้วย \frac{y^{3}}{3}

$$-\frac{23y^{3}}{30}+\int 20.7\mathrm{d}y$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 20.7 โดยใช้ \int a\mathrm{d}y=ay ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$-\frac{23y^{3}}{30}+\frac{207y}{10}$$

ถ้า F\left(y\right) เป็น antiderivative ของ f\left(y\right) จากนั้นชุดของ f\left(y\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(y\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$-\frac{23y^{3}}{30}+\frac{207y}{10}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. y

$$\frac{207-23y^{2}}{10}$$