แก้โจทย์ ∫ left(3x+2right)^3 wrt x

$$\int{ { \left(3x+2 \right) }^{ 3 } }d x$$

หาค่า

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} เพื่อขยาย \left(3x+2\right)^{3}

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 27 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 54 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 36 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

ค้นหา 8 ที่ใช้กับตารางของกฎทิกรัลทั่วไป \int a\mathrm{d}x=ax

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) แล้วชุดของ antiderivatives ทั้งหมดของ f\left(x\right) ได้รับโดย F\left(x\right)+C ดังนั้นเพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ผลลัพธ์

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(3x+2\right)^{3}$$