แก้โจทย์ ∫ int{x^2left(x^2+y^2right)^3 wrt x}dA8

$$\int{ \int{ { x }^{ 2 } { \left( { x }^{ 2 } + { y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } }d x }d A 8$$

หาค่า

$$A_{8}\left(\frac{x^{3}y^{6}}{3}+\frac{3y^{2}x^{7}}{7}+\frac{3y^{4}x^{5}}{5}+\frac{x^{9}}{9}\right)+СA_{8}+С_{1}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ค้นหาอินทิกรัลของ \int x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x โดยใช้ \int a\mathrm{d}A_{8}=aA_{8} ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\int x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\mathrm{d}xA_{8}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(\frac{y^{6}x^{3}}{3}+\frac{3y^{4}x^{5}}{5}+\frac{3y^{2}x^{7}}{7}+\frac{x^{9}}{9}+С\right)A_{8}$$

ถ้า F\left(A_{8}\right) เป็น antiderivative ของ f\left(A_{8}\right) จากนั้นชุดของ f\left(A_{8}\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(A_{8}\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\left(\frac{y^{6}x^{3}}{3}+\frac{3y^{4}x^{5}}{5}+\frac{3y^{2}x^{7}}{7}+\frac{x^{9}}{9}+С\right)A_{8}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$A_{8}x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}$$