แก้โจทย์ ∫ 1/4x^3-1/3x^2+1/2x wrt x

$$\int{ \frac{ 1 }{ 4 } { x }^{ 3 } - \frac{ 1 }{ 3 } { x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 2 } x }d x$$

หาค่า

$$\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int \frac{x^{3}}{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{x^{2}}{3}\mathrm{d}x+\int \frac{x}{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\frac{\int x^{3}\mathrm{d}x}{4}-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{3}+\frac{\int x\mathrm{d}x}{2}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ \frac{1}{4} ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{4}}{16}-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{3}+\frac{\int x\mathrm{d}x}{2}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -\frac{1}{3} ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{3}}{9}+\frac{\int x\mathrm{d}x}{2}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ \frac{1}{2} ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{x^{4}}{16}-\frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{x}{2}$$