แก้โจทย์ ∫ y(1-y) wrt y

$$\int y ( 1 - y ) d y$$

หาค่า

$$-\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย 1-y

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

เนื่องจาก \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int y\mathrm{d}y ด้วย \frac{y^{2}}{2}

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

เนื่องจาก \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int y^{2}\mathrm{d}y ด้วย \frac{y^{3}}{3} คูณ -1 ด้วย \frac{y^{3}}{3}

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

ถ้า F\left(y\right) เป็น antiderivative ของ f\left(y\right) จากนั้นชุดของ f\left(y\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(y\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. y

$$y\left(1-y\right)$$