แก้โจทย์ ∫ x(2tx^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 t x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

หาค่า

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ขยาย \left(2tx^{2}\right)^{2}

$$\int x\times 2^{2}t^{2}\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$\int x\times 2^{2}t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\int x\times 4t^{2}x^{4}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้นเข้าด้วยกัน บวก 1 กับ 4 ให้ได้ 5

$$\int x^{5}\times 4t^{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่โดยใช้ \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x

$$4t^{2}\int x^{5}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{5}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{6}}{6}

$$4t^{2}\times \frac{x^{6}}{6}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{2t^{2}x^{6}}{3}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$4t^{2}x^{5}$$