แก้โจทย์ ∫ x^2(4x+3) wrt x

$$\int x ^ { 2 } ( 4 x + 3 ) d x$$

หาค่า

$$x^{4}+x^{3}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2} ด้วย 4x+3

$$\int 4x^{3}+3x^{2}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int 3x^{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int x^{3}\mathrm{d}x+3\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 4 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$x^{4}+3\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 3 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$x^{4}+x^{3}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$x^{4}+x^{3}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(4x+3\right)x^{2}$$