แก้โจทย์ ∫ t^2(t^3-4)^2dt

$$\int t ^ { 2 } ( t ^ { 3 } - 4 ) ^ { 2 } d t$$

หาค่า

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(t^{3}-4\right)^{2}

$$\int t^{2}\left(\left(t^{3}\right)^{2}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 3 กับ 2 ให้ได้ 6

$$\int t^{2}\left(t^{6}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ t^{2} ด้วย t^{6}-8t^{3}+16

$$\int t^{8}-8t^{5}+16t^{2}\mathrm{d}t$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int t^{8}\mathrm{d}t+\int -8t^{5}\mathrm{d}t+\int 16t^{2}\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int t^{8}\mathrm{d}t-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{8}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{9}}{9}

$$\frac{t^{9}}{9}-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{5}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{6}}{6} คูณ -8 ด้วย \frac{t^{6}}{6}

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{2}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{3}}{3} คูณ 16 ด้วย \frac{t^{3}}{3}

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}$$

ถ้า F\left(t\right) เป็น antiderivative ของ f\left(t\right) จากนั้นชุดของ f\left(t\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(t\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. t

$$\left(t\left(t^{3}-4\right)\right)^{2}$$