แก้โจทย์ ∫ (from r to sqrt { alpha ^ 2) of - r}r wrt z

$$\int _ { r } ^ { \sqrt { \alpha ^ { 2 } - r } } r d z$$

หาค่า

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

$$r\leq \alpha ^{2}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int r\mathrm{d}z$$

ค้นหาอินทิกรัลของ r โดยใช้ \int a\mathrm{d}z=az ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$rz$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$r\left(\alpha ^{2}-r\right)^{\frac{1}{2}}-rr$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$r\left(\sqrt{\alpha ^{2}-r}-r\right)$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. r

$$\frac{\alpha ^{2}}{\sqrt{\alpha ^{2}-r}}-2r-\frac{3r}{2\sqrt{\alpha ^{2}-r}}$$