แก้โจทย์ ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

หาค่า

$$\frac{271}{6}\approx 45.166666667$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \sqrt{x}+1 ด้วย \sqrt{x}

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

คำนวณ \sqrt{x} กำลังของ 2 และรับ x

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

เขียน \sqrt{x} ใหม่เป็น x^{\frac{1}{2}} เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{271}{6}$$