แก้โจทย์ ∫ (from 1 to 4) of (2x-2)^2 wrt x=

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } ( 2 x - 2 ) ^ { 2 } d x =$$

หาค่า

$$36$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x-2\right)^{2}

$$\int _{1}^{4}4x^{2}-8x+4\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 4x^{2}-8x+4\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 4 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{4x^{3}}{3}-8\int x\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -8 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+\int 4\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 4 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{4x^{3}}{3}-4x^{2}+4x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{4}{3}\times 4^{3}-4\times 4^{2}+4\times 4-\left(\frac{4}{3}\times 1^{3}-4\times 1^{2}+4\times 1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$36$$