แก้โจทย์ ∫ (from 1 to 2) of (x^3+5)^2(3x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } ) d x$$

หาค่า

$$\frac{1981}{3}\approx 660.333333333$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{3}+5\right)^{2}

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 3 กับ 2 ให้ได้ 6

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{6}+10x^{3}+25 ด้วย 3

$$\int _{1}^{2}\left(3x^{6}+30x^{3}+75\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3x^{6}+30x^{3}+75 ด้วย x^{2}

$$\int _{1}^{2}3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 3x^{8}\mathrm{d}x+\int 30x^{5}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$3\int x^{8}\mathrm{d}x+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{8}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{9}}{9} คูณ 3 ด้วย \frac{x^{9}}{9}

$$\frac{x^{9}}{3}+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{5}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{6}}{6} คูณ 30 ด้วย \frac{x^{6}}{6}

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 75 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+25x^{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$25\times 2^{3}+5\times 2^{6}+\frac{2^{9}}{3}-\left(25\times 1^{3}+5\times 1^{6}+\frac{1^{9}}{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1981}{3}$$