แก้โจทย์ ∫ (from 0 to a) of -3x^2+3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { a } - 3 x ^ { 2 } + 3 d x$$

หาค่า

$$a\left(3-a^{2}\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int -3x^{2}+3\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$-3\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -3 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$-x^{3}+\int 3\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 3 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$-x^{3}+3x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$-a^{3}+3a-\left(-0^{3}+3\times 0\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$a\left(-a^{2}+3\right)$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. a

$$3-3a^{2}$$