แก้โจทย์ ∫ (from 0 to 3) of 5(2-2/3x)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } 5 ( 2 - \frac { 2 } { 3 } x ) ^ { 2 }$$

หาค่า

$$20$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2-\frac{2}{3}x\right)^{2}

$$\int _{0}^{3}5\left(4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 4-\frac{8}{3}x+\frac{4}{9}x^{2}

$$\int _{0}^{3}20-\frac{40}{3}x+\frac{20}{9}x^{2}\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 20-\frac{40x}{3}+\frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 20\mathrm{d}x+\int -\frac{40x}{3}\mathrm{d}x+\int \frac{20x^{2}}{9}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int 20\mathrm{d}x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 20 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$20x-\frac{40\int x\mathrm{d}x}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -\frac{40}{3} ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20\int x^{2}\mathrm{d}x}{9}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ \frac{20}{9} ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$20x-\frac{20x^{2}}{3}+\frac{20x^{3}}{27}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$20\times 3-\frac{20}{3}\times 3^{2}+\frac{20}{27}\times 3^{3}-\left(20\times 0-\frac{20}{3}\times 0^{2}+\frac{20}{27}\times 0^{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20$$