แก้โจทย์ ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

หาค่า

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

เนื่องจาก \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int r\mathrm{d}r ด้วย \frac{r^{2}}{2}

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

เนื่องจาก \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int r^{2}\mathrm{d}r ด้วย \frac{r^{3}}{3} คูณ -1 ด้วย \frac{r^{3}}{3}

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$