แก้โจทย์ ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)*(3x-5) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) \cdot ( 3 x - 5 ) d x$$

หาค่า

$$-\frac{27}{2}=-13.5$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 2x+3 กับแต่ละพจน์ของ 3x-5

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-10x+9x-15\mathrm{d}x$$

รวม -10x และ 9x เพื่อให้ได้รับ -x

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 6 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$2x^{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -1 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ -15 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}-15x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$2\times 1^{3}-\frac{1^{2}}{2}-15-\left(2\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}-15\times 0\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{27}{2}$$