แก้โจทย์ ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

หาค่า

$$1$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 1 โดยใช้ \int a\mathrm{d}v=av ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

เนื่องจาก \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int v^{3}\mathrm{d}v ด้วย \frac{v^{4}}{4} คูณ -8 ด้วย \frac{v^{4}}{4}

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

เนื่องจาก \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int v^{7}\mathrm{d}v ด้วย \frac{v^{8}}{8} คูณ 16 ด้วย \frac{v^{8}}{8}

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1$$