แก้โจทย์ ∫ (from 0 to sin x) of sqrt{t}dt

$$\int _ { 0 } ^ { \sin x } \sqrt { t } d t$$

หาค่า

$$\frac{2\left(\sin(x)\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

$$\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }\left(x\geq 2\pi n_{1}\text{ and }x\leq 2\pi n_{1}+\pi \right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int \sqrt{t}\mathrm{d}t$$

เขียน \sqrt{t} ใหม่เป็น t^{\frac{1}{2}} เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2t^{\frac{3}{2}}}{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{2}{3}\left(\sin(x)\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2\left(\sin(x)\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\sqrt{\sin(x)}\cos(x)$$