แก้โจทย์ ∫ (from - 2 to 3) of (4x^2-6x+2) wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 3 } ( 4 x ^ { 2 } - 6 x + 2 ) d x$$

หาค่า

$$\frac{125}{3}\approx 41.666666667$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 4x^{2}-6x+2\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 4 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{4x^{3}}{3}-6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ -6 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{4x^{3}}{3}-3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 2 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{4x^{3}}{3}-3x^{2}+2x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{4}{3}\times 3^{3}-3\times 3^{2}+2\times 3-\left(\frac{4}{3}\left(-2\right)^{3}-3\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{125}{3}$$