แก้โจทย์ ∫ (from - 2 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

หาค่า

$$\frac{2048}{105}\approx 19.504761905$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(4x-x^{3}\right)^{2}

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้นเข้าด้วยกัน บวก 1 กับ 3 ให้ได้ 4

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 3 กับ 2 ให้ได้ 6

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 16 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{4}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{5}}{5} คูณ -8 ด้วย \frac{x^{5}}{5}

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{6}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{7}}{7}

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

ส่วนที่แน่นอนเป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ได้รับการประเมินที่ขีดจำกัดบนของการรวมลบ antiderivative ได้รับการประเมินที่ขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{\left(-2\right)^{7}}{7}-\frac{8}{5}\left(-2\right)^{5}+\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2048}{105}$$