แก้โจทย์ ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

หาค่า

$$-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 1-y ด้วย y

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

เนื่องจาก \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int y\mathrm{d}y ด้วย \frac{y^{2}}{2}

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

เนื่องจาก \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int y^{2}\mathrm{d}y ด้วย \frac{y^{3}}{3} คูณ -1 ด้วย \frac{y^{3}}{3}

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{2}{3}$$