แก้โจทย์ ∫ _{1/8}^frac{1{4}}(8x+1)^2 wrt x

$$\int _ { \frac { 1 } { 8 } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( 8 x + 1 ) ^ { 2 } d x$$

หาค่า

$$\frac{19}{24}\approx 0.791666667$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(8x+1\right)^{2}

$$\int _{\frac{1}{8}}^{\frac{1}{4}}64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int 64x^{2}+16x+1\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 64x^{2}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$64\int x^{2}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ 64 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{64x^{3}}{3}+16\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 16 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 1 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{64x^{3}}{3}+8x^{2}+x$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{1}{4}-\left(\frac{64}{3}\times \left(\frac{1}{8}\right)^{3}+8\times \left(\frac{1}{8}\right)^{2}+\frac{1}{8}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{19}{24}$$