แก้โจทย์ ∫ _{frac{sqrt{2}}{2}}^1(x^4-1/2x^2) wrt x

$$\int _ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ^ { 1 } ( x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } ) d x$$

หาค่า

$$\frac{\sqrt{2}}{60}+\frac{1}{30}\approx 0.056903559$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int x^{4}-\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{4}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{5}}{5}

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -\frac{1}{2} ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{6}$$

ส่วนที่แน่นอนเป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ได้รับการประเมินที่ขีดจำกัดบนของการรวมลบ antiderivative ได้รับการประเมินที่ขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{1^{5}}{5}-\frac{1^{3}}{6}-\left(\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1}{30}+\frac{\sqrt{2}}{60}$$