แก้โจทย์ ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

หาค่า

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{3}

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม -3x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ -2x^{2}

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม 3x และ -2x เพื่อให้ได้รับ x

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

เพิ่ม -1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย 4-x

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x-x^{2} ด้วย 4+x และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม x และ 16x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม x^{3} และ -x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ยกกำลังสอง 8-x-x^{2}

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม -2x^{2} และ -15x^{2} เพื่อให้ได้รับ -17x^{2}

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

รวม 17x และ -16x เพื่อให้ได้รับ x

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2} ด้วย 17-x^{2}

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

รวม -17x^{2} และ 17x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

รวม x และ -x เพื่อให้ได้รับ 0

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{3}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{4}}{4} คูณ 2 ด้วย \frac{x^{4}}{4}

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 64 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$2\left(x^{3}+32\right)$$