แก้โจทย์ ∫ (x+sqrt[3]{x}+1/x^2) wrt x

$$\int ( x + \sqrt[ 3 ] { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

หาค่า

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

เขียน \sqrt[3]{x} ใหม่เป็น x^{\frac{1}{3}} เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x ด้วย -\frac{1}{x}

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$x+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{2}}$$