แก้โจทย์ ∫ (4x^7+4x+4)(28x^6+4) wrt x

$$\int ( 4 x ^ { 7 } + 4 x + 4 ) ( 28 x ^ { 6 } + 4 ) d x$$

หาค่า

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x^{7}+4x+4 ด้วย 28x^{6}+4 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\int 112x^{13}+128x^{7}+16x+112x^{6}+16\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 112x^{13}\mathrm{d}x+\int 128x^{7}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 112x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$112\int x^{13}\mathrm{d}x+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{13}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{14}}{14} คูณ 112 ด้วย \frac{x^{14}}{14}

$$8x^{14}+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{7}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{8}}{8} คูณ 128 ด้วย \frac{x^{8}}{8}

$$8x^{14}+16x^{8}+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 16 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{6}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{7}}{7} คูณ 112 ด้วย \frac{x^{7}}{7}

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+\int 16\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 16 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+16x$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$16\left(7x^{6}+1\right)\left(x^{7}+x+1\right)$$