แก้โจทย์ ∫ (3v^5-v^3/3)dv

$$\int ( 3 v ^ { 5 } - v ^ { 3 / 3 } ) d v$$

หาค่า

$$\frac{v^{6}}{2}-\frac{v^{2}}{2}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 3v^{5}\mathrm{d}v+\int -v\mathrm{d}v$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$3\int v^{5}\mathrm{d}v-\int v\mathrm{d}v$$

เนื่องจาก \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int v^{5}\mathrm{d}v ด้วย \frac{v^{6}}{6} คูณ 3 ด้วย \frac{v^{6}}{6}

$$\frac{v^{6}}{2}-\int v\mathrm{d}v$$

เนื่องจาก \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int v\mathrm{d}v ด้วย \frac{v^{2}}{2} คูณ -1 ด้วย \frac{v^{2}}{2}

$$\frac{v^{6}-v^{2}}{2}$$

ถ้า F\left(v\right) เป็น antiderivative ของ f\left(v\right) จากนั้นชุดของ f\left(v\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(v\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{v^{6}}{2}-\frac{v^{2}}{2}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. v

$$v\left(3v^{4}-1\right)$$