แก้โจทย์ ∫ (10+10x+10^x+10sqrt{x}) wrt x

$$\int ( 10 + 10 x + 10 ^ { x } + 10 \sqrt { x } ) d x$$

หาค่า

$$\log(e)\times 10^{x}+5x^{2}+\frac{20x^{\frac{3}{2}}}{3}+10x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 10\mathrm{d}x+\int 10x\mathrm{d}x+\int 10^{x}\mathrm{d}x+\int 10\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int 10\mathrm{d}x+10\int x\mathrm{d}x+\int 10^{x}\mathrm{d}x+10\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 10 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$10x+10\int x\mathrm{d}x+\int 10^{x}\mathrm{d}x+10\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{2}}{2} คูณ 10 ด้วย \frac{x^{2}}{2}

$$10x+5x^{2}+\int 10^{x}\mathrm{d}x+10\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

ใช้ \int a^{b}\mathrm{d}b=\frac{a^{b}}{\ln(a)} จากตารางของอินทิกรัลทั่วไปเพื่อรับผลลัพธ์

$$10x+5x^{2}+\frac{10^{x}}{\ln(10)}+10\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

เขียน \sqrt{x} ใหม่เป็น x^{\frac{1}{2}} เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ทำให้ง่ายขึ้น คูณ 10 ด้วย \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}

$$10x+5x^{2}+\frac{10^{x}}{\ln(10)}+\frac{20x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$10x+5x^{2}+\frac{10^{x}}{\ln(10)}+\frac{20x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$10^{x}+10x+10\sqrt{x}+10$$