แก้โจทย์ ∫ (9/sqrt[4]{t}+4/t^7)dt

$$\int ( \frac { 9 } { \sqrt[ 4 ] { t } } + \frac { 4 } { t ^ { 7 } } ) d t$$

หาค่า

$$12t^{\frac{3}{4}}-\frac{2}{3t^{6}}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int \frac{9}{\sqrt[4]{t}}\mathrm{d}t+\int \frac{4}{t^{7}}\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$9\int \frac{1}{\sqrt[4]{t}}\mathrm{d}t+4\int \frac{1}{t^{7}}\mathrm{d}t$$

เขียน \frac{1}{\sqrt[4]{t}} ใหม่เป็น t^{-\frac{1}{4}} เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{-\frac{1}{4}}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} ทำให้ง่ายขึ้น คูณ 9 ด้วย \frac{4t^{\frac{3}{4}}}{3}

$$12t^{\frac{3}{4}}+4\int \frac{1}{t^{7}}\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int \frac{1}{t^{7}}\mathrm{d}t ด้วย -\frac{1}{6t^{6}} คูณ 4 ด้วย -\frac{1}{6t^{6}}

$$12t^{\frac{3}{4}}-\frac{2}{3t^{6}}$$

ถ้า F\left(t\right) เป็น antiderivative ของ f\left(t\right) จากนั้นชุดของ f\left(t\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(t\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$12t^{\frac{3}{4}}-\frac{2}{3t^{6}}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. t

$$\frac{9}{\sqrt[4]{t}}+\frac{4}{t^{7}}$$