แก้โจทย์ ∫ (4/sqrt[5]{t}+3/t^6)dt

$$\int ( \frac { 4 } { \sqrt[ 5 ] { t } } + \frac { 3 } { t ^ { 6 } } ) d t$$

หาค่า

$$5t^{\frac{4}{5}}-\frac{3}{5t^{5}}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int \frac{4}{\sqrt[5]{t}}\mathrm{d}t+\int \frac{3}{t^{6}}\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int \frac{1}{\sqrt[5]{t}}\mathrm{d}t+3\int \frac{1}{t^{6}}\mathrm{d}t$$

เขียน \frac{1}{\sqrt[5]{t}} ใหม่เป็น t^{-\frac{1}{5}} เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{-\frac{1}{5}}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} ทำให้ง่ายขึ้น คูณ 4 ด้วย \frac{5t^{\frac{4}{5}}}{4}

$$5t^{\frac{4}{5}}+3\int \frac{1}{t^{6}}\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int \frac{1}{t^{6}}\mathrm{d}t ด้วย -\frac{1}{5t^{5}} คูณ 3 ด้วย -\frac{1}{5t^{5}}

$$5t^{\frac{4}{5}}-\frac{\frac{3}{t^{5}}}{5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5t^{\frac{4}{5}}-\frac{3}{5t^{5}}$$

ถ้า F\left(t\right) เป็น antiderivative ของ f\left(t\right) จากนั้นชุดของ f\left(t\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(t\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$5t^{\frac{4}{5}}-\frac{3}{5t^{5}}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. t

$$\frac{4}{\sqrt[5]{t}}+\frac{3}{t^{6}}$$