แก้โจทย์ ∫ wrt x/sqrt[3]{8x^2}

$$\int \frac { d x } { \sqrt[ 3 ] { 8 x ^ { 2 } } }$$

หาค่า

$$\frac{3\sqrt[3]{x}}{2}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

แยกตัวประกอบค่าคงที่โดยใช้ \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x

$$\frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{8}}$$

เขียน \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} ใหม่เป็น x^{-\frac{2}{3}} เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{-\frac{2}{3}}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} ปรับให้ง่ายและแปลงจากเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นรูปแบบกรณฑ์

$$\frac{3\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{8}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{3\sqrt[3]{x}}{2}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{3\sqrt[3]{x}}{2}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{1}{2x^{\frac{2}{3}}}$$