แก้โจทย์ ∫ 8x^6+1/2x^2+1 wrt x

$$\int \frac { 8 x ^ { 6 } + 1 } { 2 x ^ { 2 } + 1 } d x$$

หาค่า

$$\frac{4x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{8x^{6}+1}{2x^{2}+1}

$$\int \frac{\left(2x^{2}+1\right)\left(4x^{4}-2x^{2}+1\right)}{2x^{2}+1}\mathrm{d}x$$

ตัด 2x^{2}+1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\int 4x^{4}-2x^{2}+1\mathrm{d}x$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int 4x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$4\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{4}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{5}}{5} คูณ 4 ด้วย \frac{x^{5}}{5}

$$\frac{4x^{5}}{5}-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int x^{2}\mathrm{d}x ด้วย \frac{x^{3}}{3} คูณ -2 ด้วย \frac{x^{3}}{3}

$$\frac{4x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 1 โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{4x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+x$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{5}}{5}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{5}}{5}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$4x^{4}-2x^{2}+1$$