แก้โจทย์ ∫ 1/1+tanxdu

$$\int \frac { 1 } { 1 + \tan x } d u$$

หาค่า

$$\frac{u\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}+С$$

$$\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}+\frac{3\pi }{4}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ค้นหาอินทิกรัลของ \frac{1}{1+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} โดยใช้ \int a\mathrm{d}u=au ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{u}{1+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\cos(x)u}{\cos(x)+\sin(x)}$$

ถ้า F\left(u\right) เป็น antiderivative ของ f\left(u\right) จากนั้นชุดของ f\left(u\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(u\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\begin{matrix}\frac{\cos(x)u}{\cos(x)+\sin(x)}+С_{3},&\end{matrix}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$-\frac{u}{\left(\sin(x)+\cos(x)\right)^{2}}$$