แก้โจทย์ ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

หาค่า

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ -a-1 ด้วย \frac{a+1}{a+1}

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \frac{2a+10}{a+1} และ \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

ทำการคูณใน 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 2a+10-a^{2}-a-a-1

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

หาร \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} ด้วย \frac{9-a^{2}}{a+1} โดยคูณ \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} ด้วยส่วนกลับของ \frac{9-a^{2}}{a+1}

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

ตัด \left(a-3\right)\left(a+1\right) ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(-a-3\right)\left(a+6\right) และ a+3 คือ \left(a+3\right)\left(a+6\right) คูณ \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} ด้วย \frac{-1}{-1} คูณ \frac{1}{a+3} ด้วย \frac{a+6}{a+6}

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

เนื่องจาก \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} และ \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

ทำการคูณใน -\left(a-2\right)+a+6

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน -a+2+a+6

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

คูณ \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} ด้วย \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

ตัด 2 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

ตัด a+3 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2a-1

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ a+6 ด้วย a^{2}

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

ค้นหาอินทิกรัลของ \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} โดยใช้ \int a\mathrm{d}x=ax ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

ถ้า F\left(x\right) เป็น antiderivative ของ f\left(x\right) จากนั้นชุดของ f\left(x\right) antiderivatives ทั้งหมดที่ได้รับมาจาก F\left(x\right)+C ดังนั้นให้เพิ่มค่าคงที่ของการรวม C\in \mathrm{R} ลงในผลลัพธ์

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$