แก้โจทย์ x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

หาค่า x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -\frac{1}{2},1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-1\right)\left(2x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ 2x+1,x-1

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

คูณ x-1 และ x-1 เพื่อรับ \left(x-1\right)^{2}

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

คูณ 2x+1 และ 2x+1 เพื่อรับ \left(2x+1\right)^{2}

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+1\right)^{2}

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x-1 ด้วย 2x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x^{2}-x-1 ด้วย 3

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

รวม 4x^{2} และ 6x^{2} เพื่อให้ได้รับ 10x^{2}

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

รวม 4x และ -3x เพื่อให้ได้รับ x

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

ลบ 10x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

รวม x^{2} และ -10x^{2} เพื่อให้ได้รับ -9x^{2}

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

รวม -2x และ -x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

เพิ่ม 2 ไปทั้งสองด้าน

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

เพิ่ม 1 และ 2 เพื่อให้ได้รับ 3

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -9 แทน a, -3 แทน b และ 3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

ยกกำลังสอง -3

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -9

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

คูณ 36 ด้วย 3

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 108

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

หารากที่สองของ 117

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -9

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง 3\sqrt{13}

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

หาร 3+3\sqrt{13} ด้วย -18

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3\sqrt{13} จาก 3

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

หาร 3-3\sqrt{13} ด้วย -18

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -\frac{1}{2},1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(x-1\right)\left(2x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ 2x+1,x-1

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

คูณ x-1 และ x-1 เพื่อรับ \left(x-1\right)^{2}

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

คูณ 2x+1 และ 2x+1 เพื่อรับ \left(2x+1\right)^{2}

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x-1\right)^{2}

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2x+1\right)^{2}

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x-1 ด้วย 2x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2x^{2}-x-1 ด้วย 3

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

รวม 4x^{2} และ 6x^{2} เพื่อให้ได้รับ 10x^{2}

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

รวม 4x และ -3x เพื่อให้ได้รับ x

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

ลบ 3 จาก 1 เพื่อรับ -2

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

ลบ 10x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

รวม x^{2} และ -10x^{2} เพื่อให้ได้รับ -9x^{2}

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

รวม -2x และ -x เพื่อให้ได้รับ -3x

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

ลบ 1 จาก -2 เพื่อรับ -3

$$-9x^{2}-3x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

หารด้วย -9 เลิกทำการคูณด้วย -9

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

ทำเศษส่วน \frac{-3}{-9} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

ทำเศษส่วน \frac{-3}{-9} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

หาร \frac{1}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง \frac{1}{36} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

ลบ \frac{1}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$