แก้โจทย์ frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

หาค่า b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

ขั้นตอนการแก้สมการกรณฑ์

ทำตัวส่วนของ \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2+\sqrt{5}

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

พิจารณา \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ยกกำลังสอง 2 ยกกำลังสอง \sqrt{5}

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ลบ 5 จาก 4 เพื่อรับ -1

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

คูณ 2+\sqrt{5} และ 2+\sqrt{5} เพื่อรับ \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

เพิ่ม 4 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 9

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

รายการที่หารด้วย -1 จะให้ค่าแบบตรงข้าม เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9+4\sqrt{5} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2-\sqrt{5}

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

พิจารณา \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

ยกกำลังสอง 2 ยกกำลังสอง \sqrt{5}

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

ลบ 5 จาก 4 เพื่อรับ -1

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

คูณ 2-\sqrt{5} และ 2-\sqrt{5} เพื่อรับ \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

เพิ่ม 4 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 9

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

รายการที่หารด้วย -1 จะให้ค่าแบบตรงข้าม เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 9-4\sqrt{5} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

ลบ 9 จาก -9 เพื่อรับ -18

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

รวม -4\sqrt{5} และ 4\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

หารด้วย 5 เลิกทำการคูณด้วย 5

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

หาค่า a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$