แก้โจทย์ frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

หาค่า

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2+\sqrt{3}

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

พิจารณา \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

ยกกำลังสอง 2 ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

คูณ 2+\sqrt{3} และ 2+\sqrt{3} เพื่อรับ \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2-\sqrt{3}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

พิจารณา \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 2 ยกกำลังสอง \sqrt{3}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

สิ่งใดก็ตามที่หารด้วยหนึ่งจะได้ตัวเอง

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

คูณ 2-\sqrt{3} และ 2-\sqrt{3} เพื่อรับ \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

เพิ่ม 4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

รากที่สองของ \sqrt{3} คือ 3

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

เพิ่ม 4 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 7

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 7-4\sqrt{3} ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

ตรงข้ามกับ -4\sqrt{3} คือ 4\sqrt{3}

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

ลบ 7 จาก 7 เพื่อรับ 0

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

รวม 4\sqrt{3} และ 4\sqrt{3} เพื่อให้ได้รับ 8\sqrt{3}

$$8\sqrt{3}$$