แก้โจทย์ 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เศษส่วน \frac{-2}{3} สามารถเขียนใหม่เป็น -\frac{2}{3} โดยเอาเครื่องหมายลบออก

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

คูณ \frac{1}{6} และ -\frac{2}{3} เพื่อรับ -\frac{1}{9}

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{1}{9} ด้วย 4x+5

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ด้วย 2x+7 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

ลบ 3 จาก -\frac{35}{9} เพื่อรับ -\frac{62}{9}

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -\frac{8}{9} แทน a, -\frac{38}{9} แทน b และ -\frac{62}{9} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

ยกกำลังสอง -\frac{38}{9} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -\frac{8}{9}

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

คูณ \frac{32}{9} ครั้ง -\frac{62}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

เพิ่ม \frac{1444}{81} ไปยัง -\frac{1984}{81} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

หารากที่สองของ -\frac{20}{3}

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

ตรงข้ามกับ -\frac{38}{9} คือ \frac{38}{9}

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{8}{9}

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{38}{9} ไปยัง \frac{2i\sqrt{15}}{3}

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

หาร \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} ด้วย -\frac{16}{9} โดยคูณ \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} ด้วยส่วนกลับของ -\frac{16}{9}

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{2i\sqrt{15}}{3} จาก \frac{38}{9}

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

หาร \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} ด้วย -\frac{16}{9} โดยคูณ \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} ด้วยส่วนกลับของ -\frac{16}{9}

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

เศษส่วน \frac{-2}{3} สามารถเขียนใหม่เป็น -\frac{2}{3} โดยเอาเครื่องหมายลบออก

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

คูณ \frac{1}{6} และ -\frac{2}{3} เพื่อรับ -\frac{1}{9}

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{1}{9} ด้วย 4x+5

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} ด้วย 2x+7 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

เพิ่ม \frac{35}{9} ไปทั้งสองด้าน

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

เพิ่ม 3 และ \frac{35}{9} เพื่อให้ได้รับ \frac{62}{9}

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{8}{9} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

หารด้วย -\frac{8}{9} เลิกทำการคูณด้วย -\frac{8}{9}

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

หาร -\frac{38}{9} ด้วย -\frac{8}{9} โดยคูณ -\frac{38}{9} ด้วยส่วนกลับของ -\frac{8}{9}

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

หาร \frac{62}{9} ด้วย -\frac{8}{9} โดยคูณ \frac{62}{9} ด้วยส่วนกลับของ -\frac{8}{9}

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

หาร \frac{19}{4} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{19}{8} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{19}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{19}{8} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

เพิ่ม -\frac{31}{4} ไปยัง \frac{361}{64} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

ลบ \frac{19}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$