แก้โจทย์ 1/1-x^2+2/x-1-3/x+1

$$\frac{ 1 }{ 1- { x }^{ 2 } } + \frac{ 2 }{ x-1 } - \frac{ 3 }{ x+1 }$$

หาค่า

$$\frac{x-4}{1-x^{2}}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

แยกตัวประกอบ 1-x^{2}

$$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}+\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) และ x-1 คือ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) คูณ \frac{2}{x-1} ด้วย \frac{-x-1}{-x-1}

$$\frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}+\frac{2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1}$$

เนื่องจาก \frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} และ \frac{2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{1+2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1}$$

ทำการคูณใน 1+2\left(-x-1\right)

$$\frac{1-2x-2}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 1-2x-2

$$\frac{-1-2x}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) และ x+1 คือ \left(x-1\right)\left(x+1\right) คูณ \frac{-1-2x}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} ด้วย \frac{-1}{-1} คูณ \frac{3}{x+1} ด้วย \frac{x-1}{x-1}

$$\frac{-\left(-1-2x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

เนื่องจาก \frac{-\left(-1-2x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} และ \frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{-\left(-1-2x\right)-3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

ทำการคูณใน -\left(-1-2x\right)-3\left(x-1\right)

$$\frac{1+2x-3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 1+2x-3x+3

$$\frac{4-x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

ขยาย \left(x-1\right)\left(x+1\right)

$$\frac{4-x}{x^{2}-1}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\frac{x^{2}-8x+1}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

แยกตัวประกอบ 1-x^{2}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}+\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) และ x-1 คือ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) คูณ \frac{2}{x-1} ด้วย \frac{-x-1}{-x-1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}+\frac{2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1})$$

เนื่องจาก \frac{1}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} และ \frac{2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1+2\left(-x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1})$$

ทำการคูณใน 1+2\left(-x-1\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1-2x-2}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 1-2x-2

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-1-2x}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}-\frac{3}{x+1})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(x-1\right)\left(-x-1\right) และ x+1 คือ \left(x-1\right)\left(x+1\right) คูณ \frac{-1-2x}{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)} ด้วย \frac{-1}{-1} คูณ \frac{3}{x+1} ด้วย \frac{x-1}{x-1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-\left(-1-2x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

เนื่องจาก \frac{-\left(-1-2x\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} และ \frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-\left(-1-2x\right)-3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

ทำการคูณใน -\left(-1-2x\right)-3\left(x-1\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1+2x-3x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 1+2x-3x+3

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4-x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

พิจารณา \left(x-1\right)\left(x+1\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{4-x}{x^{2}-1})$$

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^{1}+4)-\left(-x^{1}+4\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(-1\right)x^{1-1}-\left(-x^{1}+4\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{1}+4\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

ขยายโดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\frac{x^{2}\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{0}\right)-\left(-x^{1}\times 2x^{1}+4\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{-x^{2}-\left(-x^{0}\right)-\left(-2x^{1+1}+4\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\frac{-x^{2}+x^{0}-\left(-2x^{2}+8x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

เอาวงเล็บที่ไม่จำเป็นออก

$$\frac{-x^{2}+x^{0}-\left(-2x^{2}\right)-8x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{\left(-1-\left(-2\right)\right)x^{2}+x^{0}-8x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

ลบ -2 จาก -1

$$\frac{x^{2}+x^{0}-8x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$\frac{x^{2}+x^{0}-8x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ยกเว้น 0 ให้ t^{0}=1

$$\frac{x^{2}+1-8x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$