แก้โจทย์ x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

หาค่า x

$$x=-3$$

$$x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6x\left(x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x+1,x,6

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6x+6 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

รวม 6x^{2} และ 6x^{2} เพื่อให้ได้รับ 12x^{2}

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 13x ด้วย x+1

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ลบ 13x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

รวม 12x^{2} และ -13x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

รวม 12x และ -13x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x^{2}-x+6=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -x^{2}+ax+bx+6 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -6

$$1,-6 2,-3$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-6=-5 2-3=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=2 b=-3$$

เขียน -x^{2}-x+6 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 3 ใน

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม -x+2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข -x+2=0 และ x+3=0

$$x=2 x=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6x\left(x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x+1,x,6

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6x+6 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

รวม 6x^{2} และ 6x^{2} เพื่อให้ได้รับ 12x^{2}

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 13x ด้วย x+1

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ลบ 13x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

รวม 12x^{2} และ -13x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

รวม 12x และ -13x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x^{2}-x+6=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, -1 แทน b และ 6 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 6

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 24

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 25

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±5}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง 5

$$x=\frac{6}{-2}$$

หาร 6 ด้วย -2

$$x=-3$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{1±5}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 5 จาก 1

$$x=-\frac{4}{-2}$$

หาร -4 ด้วย -2

$$x=2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-3 x=2$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6x\left(x+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x+1,x,6

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 6x+6 ด้วย x+1 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

รวม 6x^{2} และ 6x^{2} เพื่อให้ได้รับ 12x^{2}

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 13x ด้วย x+1

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ลบ 13x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

รวม 12x^{2} และ -13x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ลบ 13x จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

รวม 12x และ -13x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x^{2}-x+6=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-x^{2}-x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

หาร -1 ด้วย -1

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

หาร -6 ด้วย -1

$$x^{2}+x=6$$

หาร 1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 6 ไปยัง \frac{1}{4}

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+x+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

ลบ \frac{1}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2 x=-3$$