แก้โจทย์ x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

หาค่า x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 21 ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,3

$$3x+7y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 14

$$-x+42y=364$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+7y=105$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-7y+105$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -7y+105

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

ทดแทน -\frac{7y}{3}+35 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+42y=364

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{7y}{3}+35

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

เพิ่ม \frac{7y}{3} ไปยัง 42y

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

เพิ่ม 35 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{133}{3}y=399$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{133}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{3}y+35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

คูณ -\frac{7}{3} ด้วย 9

$$x=-21+35$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -21

$$x=14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=14,y=9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 21 ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,3

$$3x+7y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 14

$$-x+42y=364$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=14,y=9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 21 ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,3

$$3x+7y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 14

$$-x+42y=364$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

เพื่อทำให้ 3x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

ลบ -3x+126y=1092 จาก -3x-7y=-105 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-7y-126y=-105-1092$$

เพิ่ม -7y ไปยัง -126y

$$-133y=-105-1092$$

เพิ่ม -105 ไปยัง -1092

$$-133y=-1197$$

หารทั้งสองข้างด้วย -133

$$y=9$$

ทดแทน 9 สำหรับ y ใน -x+42y=364 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+42\times 9=364$$

คูณ 42 ด้วย 9

$$-x+378=364$$

ลบ 378 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=14$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=14,y=9$$