แก้โจทย์ x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

หาค่า x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4x=5y$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 5y

$$x=\frac{5}{4}y$$

ทดแทน \frac{5y}{4} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=-3

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

เพิ่ม -\frac{5y}{4} ไปยัง y

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{4}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

คูณ \frac{5}{4} ด้วย 12

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=12$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4x=5y$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$4x-5y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$y=x-3$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-3$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=15,y=12$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,4

$$4x=5y$$

ลบ 5y จากทั้งสองด้าน

$$4x-5y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$y=x-3$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-3$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

เพื่อทำให้ 4x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

ลบ -4x+4y=-12 จาก -4x+5y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-4y=12$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -4y

$$y=12$$

ทดแทน 12 สำหรับ y ใน -x+y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+12=-3$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=12$$