แก้โจทย์ x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

หาค่า x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x+3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,4

$$2x-y=4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+3y=48$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-3y+48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -3y+48

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

ทดแทน -\frac{3y}{4}+12 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=4

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{3y}{4}+12

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

ลบ 24 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{4}y+12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

คูณ -\frac{3}{4} ด้วย 8

$$x=-6+12$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -6

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x+3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,4

$$2x-y=4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=6,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x+3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,4

$$2x-y=4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

เพื่อทำให้ 4x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

ลบ 8x-4y=16 จาก 8x+6y=96 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y+4y=96-16$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 4y

$$10y=96-16$$

เพิ่ม 96 ไปยัง -16

$$10y=80$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน 2x-y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-8=4$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=6,y=8$$