แก้โจทย์ x^2/25+(4/9x+4/3)^2/16=1

$$\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { ( \frac { 4 } { 9 } x + \frac { 4 } { 3 } ) ^ { 2 } } { 16 } = 1$$

หาค่า x

$$x = \frac{45 \sqrt{97} - 75}{106} \approx 3.473571708$$

$$x=\frac{-45\sqrt{97}-75}{106}\approx -4.888666048$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 400 ตัวคูณร่วมน้อยของ 25,16

$$16x^{2}+25\left(\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}\right)^{2}=400$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}\right)^{2}

$$16x^{2}+25\left(\frac{16}{81}x^{2}+\frac{32}{27}x+\frac{16}{9}\right)=400$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 25 ด้วย \frac{16}{81}x^{2}+\frac{32}{27}x+\frac{16}{9}

$$16x^{2}+\frac{400}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x+\frac{400}{9}=400$$

รวม 16x^{2} และ \frac{400}{81}x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{1696}{81}x^{2}

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x+\frac{400}{9}=400$$

ลบ 400 จากทั้งสองด้าน

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x+\frac{400}{9}-400=0$$

ลบ 400 จาก \frac{400}{9} เพื่อรับ -\frac{3200}{9}

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x-\frac{3200}{9}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ \frac{1696}{81} แทน a, \frac{800}{27} แทน b และ -\frac{3200}{9} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\sqrt{\left(\frac{800}{27}\right)^{2}-4\times \frac{1696}{81}\left(-\frac{3200}{9}\right)}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

ยกกำลังสอง \frac{800}{27} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\sqrt{\frac{640000}{729}-4\times \frac{1696}{81}\left(-\frac{3200}{9}\right)}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

คูณ -4 ด้วย \frac{1696}{81}

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\sqrt{\frac{640000}{729}-\frac{6784}{81}\left(-\frac{3200}{9}\right)}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

คูณ -\frac{6784}{81} ครั้ง -\frac{3200}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\sqrt{\frac{640000+21708800}{729}}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

เพิ่ม \frac{640000}{729} ไปยัง \frac{21708800}{729} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\sqrt{\frac{2483200}{81}}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

หารากที่สองของ \frac{2483200}{81}

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\frac{160\sqrt{97}}{9}}{2\times \frac{1696}{81}}$$

คูณ 2 ด้วย \frac{1696}{81}

$$x=\frac{-\frac{800}{27}±\frac{160\sqrt{97}}{9}}{\frac{3392}{81}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-\frac{800}{27}±\frac{160\sqrt{97}}{9}}{\frac{3392}{81}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -\frac{800}{27} ไปยัง \frac{160\sqrt{97}}{9}

$$x=\frac{\frac{160\sqrt{97}}{9}-\frac{800}{27}}{\frac{3392}{81}}$$

หาร -\frac{800}{27}+\frac{160\sqrt{97}}{9} ด้วย \frac{3392}{81} โดยคูณ -\frac{800}{27}+\frac{160\sqrt{97}}{9} ด้วยส่วนกลับของ \frac{3392}{81}

$$x=\frac{45\sqrt{97}-75}{106}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-\frac{800}{27}±\frac{160\sqrt{97}}{9}}{\frac{3392}{81}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ \frac{160\sqrt{97}}{9} จาก -\frac{800}{27}

$$x=\frac{-\frac{160\sqrt{97}}{9}-\frac{800}{27}}{\frac{3392}{81}}$$

หาร -\frac{800}{27}-\frac{160\sqrt{97}}{9} ด้วย \frac{3392}{81} โดยคูณ -\frac{800}{27}-\frac{160\sqrt{97}}{9} ด้วยส่วนกลับของ \frac{3392}{81}

$$x=\frac{-45\sqrt{97}-75}{106}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{45\sqrt{97}-75}{106} x=\frac{-45\sqrt{97}-75}{106}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 400 ตัวคูณร่วมน้อยของ 25,16

$$16x^{2}+25\left(\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}\right)^{2}=400$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\frac{4}{9}x+\frac{4}{3}\right)^{2}

$$16x^{2}+25\left(\frac{16}{81}x^{2}+\frac{32}{27}x+\frac{16}{9}\right)=400$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 25 ด้วย \frac{16}{81}x^{2}+\frac{32}{27}x+\frac{16}{9}

$$16x^{2}+\frac{400}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x+\frac{400}{9}=400$$

รวม 16x^{2} และ \frac{400}{81}x^{2} เพื่อให้ได้รับ \frac{1696}{81}x^{2}

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x+\frac{400}{9}=400$$

ลบ \frac{400}{9} จากทั้งสองด้าน

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x=400-\frac{400}{9}$$

ลบ \frac{400}{9} จาก 400 เพื่อรับ \frac{3200}{9}

$$\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x=\frac{3200}{9}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{1696}{81} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$\frac{\frac{1696}{81}x^{2}+\frac{800}{27}x}{\frac{1696}{81}}=\frac{\frac{3200}{9}}{\frac{1696}{81}}$$

หารด้วย \frac{1696}{81} เลิกทำการคูณด้วย \frac{1696}{81}

$$x^{2}+\frac{\frac{800}{27}}{\frac{1696}{81}}x=\frac{\frac{3200}{9}}{\frac{1696}{81}}$$

หาร \frac{800}{27} ด้วย \frac{1696}{81} โดยคูณ \frac{800}{27} ด้วยส่วนกลับของ \frac{1696}{81}

$$x^{2}+\frac{75}{53}x=\frac{\frac{3200}{9}}{\frac{1696}{81}}$$

หาร \frac{3200}{9} ด้วย \frac{1696}{81} โดยคูณ \frac{3200}{9} ด้วยส่วนกลับของ \frac{1696}{81}

$$x^{2}+\frac{75}{53}x=\frac{900}{53}$$

หาร \frac{75}{53} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{75}{106} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{75}{106} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\frac{75}{53}x+\left(\frac{75}{106}\right)^{2}=\frac{900}{53}+\left(\frac{75}{106}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{75}{106} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+\frac{75}{53}x+\frac{5625}{11236}=\frac{900}{53}+\frac{5625}{11236}$$

เพิ่ม \frac{900}{53} ไปยัง \frac{5625}{11236} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}+\frac{75}{53}x+\frac{5625}{11236}=\frac{196425}{11236}$$

ตัวประกอบx^{2}+\frac{75}{53}x+\frac{5625}{11236} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{75}{106}\right)^{2}=\frac{196425}{11236}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{75}{106}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{196425}{11236}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{75}{106}=\frac{45\sqrt{97}}{106} x+\frac{75}{106}=-\frac{45\sqrt{97}}{106}$$

ลบ \frac{75}{106} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{45\sqrt{97}-75}{106} x=\frac{-45\sqrt{97}-75}{106}$$