แก้โจทย์ p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

หาค่า p

$$p=1$$

$$p=4$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

ตัวแปร p ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย p\left(p+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ p^{2}+p,p+1

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ p ด้วย p-6

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ p^{2}-6p ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$p+4=-p^{2}+6p$$

เพิ่ม p^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}=6p$$

ลบ 6p จากทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

รวม p และ -6p เพื่อให้ได้รับ -5p

$$-5p+4+p^{2}=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$p^{2}-5p+4=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ แยกตัวประกอบ p^{2}-5p+4 โดยใช้สูตร p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-5 ab=4$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 4

$$-1,-4 -2,-2$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -5

$$a=-4 b=-1$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบ \left(p+a\right)\left(p+b\right) ใหม่โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ p-4=0 และ p-1=0

$$p=4 p=1$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร p ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย p\left(p+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ p^{2}+p,p+1

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ p ด้วย p-6

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ p^{2}-6p ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$p+4=-p^{2}+6p$$

เพิ่ม p^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}=6p$$

ลบ 6p จากทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

รวม p และ -6p เพื่อให้ได้รับ -5p

$$-5p+4+p^{2}=0$$

จัดเรียงพหุเพื่อวางไว้ในรูปแบบมาตรฐาน วางพจน์ตามลำดับจากกำลังสูงสุดถึงต่ำสุด

$$p^{2}-5p+4=0$$

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก p^{2}+ap+bp+4 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 4

$$-1,-4 -2,-2$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -5

$$a=-4 b=-1$$

เขียน p^{2}-5p+4 ใหม่เป็น \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

แยกตัวประกอบ p ในกลุ่มแรกและ -1 ในกลุ่มที่สอง

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม p-4 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ p-4=0 และ p-1=0

$$p=4 p=1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร p ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย p\left(p+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ p^{2}+p,p+1

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ p ด้วย p-6

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ p^{2}-6p ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

ลบ 1 จาก 5 เพื่อรับ 4

$$p+4=-p^{2}+6p$$

เพิ่ม p^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}=6p$$

ลบ 6p จากทั้งสองด้าน

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

รวม p และ -6p เพื่อให้ได้รับ -5p

$$-5p+4+p^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$p^{2}-5p+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -5 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

ยกกำลังสอง -5

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 4

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

เพิ่ม 25 ไปยัง -16

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

หารากที่สองของ 9

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

ตรงข้ามกับ -5 คือ 5

$$p=\frac{5±3}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ p=\frac{5±3}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 5 ไปยัง 3

$$p=\frac{8}{2}$$

หาร 8 ด้วย 2

$$p=4$$

ตอนนี้ แก้สมการ p=\frac{5±3}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 3 จาก 5

$$p=\frac{2}{2}$$

หาร 2 ด้วย 2

$$p=1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$p=4 p=1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร p ไม่สามารถเท่ากับค่า -1,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย p\left(p+1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ p^{2}+p,p+1

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ p ด้วย p-6

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ p^{2}-6p ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

เพิ่ม p^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

ลบ 6p จากทั้งสองด้าน

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

รวม p และ -6p เพื่อให้ได้รับ -5p

$$-5p+5+p^{2}=1$$

ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$-5p+p^{2}=1-5$$

ลบ 5 จาก 1 เพื่อรับ -4

$$-5p+p^{2}=-4$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$p^{2}-5p=-4$$

หาร -5 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{5}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{5}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

เพิ่ม -4 ไปยัง \frac{25}{4}

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

ตัวประกอบ p^{2}-5p+\frac{25}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$p=4 p=1$$