แก้โจทย์ frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

หาค่า

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1.885618083+2.333333333i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ทำตัวส่วนของ \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย i-\sqrt{2}

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

พิจารณา \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง i ยกกำลังสอง \sqrt{2}

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

ลบ 2 จาก -1 เพื่อรับ -3

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ i\sqrt{2}-5 กับแต่ละพจน์ของ i-\sqrt{2}

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

คูณ -i และ 2 เพื่อรับ -2i

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

ลบ 5i จาก -2i เพื่อรับ -7i

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

รวม -\sqrt{2} และ 5\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ 4\sqrt{2}

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย -1

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

จำนวนจริง

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1.885618083164127$$