แก้โจทย์ a^5/a-1-a^2/a+1-1/a-1+1/a+1

$$\frac { a ^ { 5 } } { a - 1 } - \frac { a ^ { 2 } } { a + 1 } - \frac { 1 } { a - 1 } + \frac { 1 } { a + 1 }$$

หาค่า

$$a^{4}+a^{3}+a^{2}+2$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ a-1 และ a+1 คือ \left(a-1\right)\left(a+1\right) คูณ \frac{a^{5}}{a-1} ด้วย \frac{a+1}{a+1} คูณ \frac{a^{2}}{a+1} ด้วย \frac{a-1}{a-1}

$$\frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

เนื่องจาก \frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} และ \frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

ทำการคูณใน a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(a-1\right)\left(a+1\right) และ a-1 คือ \left(a-1\right)\left(a+1\right) คูณ \frac{1}{a-1} ด้วย \frac{a+1}{a+1}

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

เนื่องจาก \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} และ \frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

ทำการคูณใน a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)

$$\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}

$$\frac{\left(a-1\right)\left(a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1}$$

ตัด a-1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1}$$

เนื่องจาก \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1} และ \frac{1}{a+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1}{a+1}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1

$$\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)}{a+1}$$

ตัด a+1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$$

ขยายนิพจน์

$$a^{4}+a^{3}+a^{2}+2$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. a

$$a\left(4a^{2}+3a+2\right)$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎอนุพันธ์สำหรับการรวม

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ a-1 และ a+1 คือ \left(a-1\right)\left(a+1\right) คูณ \frac{a^{5}}{a-1} ด้วย \frac{a+1}{a+1} คูณ \frac{a^{2}}{a+1} ด้วย \frac{a-1}{a-1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

เนื่องจาก \frac{a^{5}\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} และ \frac{a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

ทำการคูณใน a^{5}\left(a+1\right)-a^{2}\left(a-1\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1})$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน ตัวคูณร่วมน้อยของ \left(a-1\right)\left(a+1\right) และ a-1 คือ \left(a-1\right)\left(a+1\right) คูณ \frac{1}{a-1} ด้วย \frac{a+1}{a+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

เนื่องจาก \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} และ \frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

ทำการคูณใน a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-\left(a+1\right)

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{a^{6}+a^{5}-a^{3}+a^{2}-a-1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\left(a-1\right)\left(a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}+\frac{1}{a+1})$$

ตัด a-1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1}+\frac{1}{a+1})$$

เนื่องจาก \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1}{a+1} และ \frac{1}{a+1} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้เพิ่มโดยการบวกตัวเศษ

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1}{a+1})$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+1+1

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1})$$

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบใน \frac{a^{5}+2a^{4}+2a^{3}+a^{2}+2a+2}{a+1}

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\frac{\left(a+1\right)\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right)}{a+1})$$

ตัด a+1 ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(\left(a^{2}-a+1\right)\left(a^{2}+2a+2\right))$$

ขยายนิพจน์

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}(a^{4}+a^{3}+a^{2}+2)$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$4a^{4-1}+3a^{3-1}+2a^{2-1}$$

ลบ 1 จาก 4

$$4a^{3}+3a^{3-1}+2a^{2-1}$$

ลบ 1 จาก 3

$$4a^{3}+3a^{2}+2a^{2-1}$$

ลบ 1 จาก 2

$$4a^{3}+3a^{2}+2a^{1}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$4a^{3}+3a^{2}+2a$$