แก้โจทย์ frac{8+4-2sqrt{5}-4sqrt{5}+2sqrt{10}}{1-sqrt{5}}

$$\frac { 8 + 4 - 2 \sqrt { 5 } - 4 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 10 } } { 1 - \sqrt { 5 } }$$

หาค่า

$$\frac{9-\sqrt{10}-3\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{2}\approx -3.970774702$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เพิ่ม 8 และ 4 เพื่อให้ได้รับ 12

$$\frac{12-2\sqrt{5}-4\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}}$$

รวม -2\sqrt{5} และ -4\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ -6\sqrt{5}

$$\frac{12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}}$$

ทำตัวส่วนของ \frac{12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}}{1-\sqrt{5}} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 1+\sqrt{5}

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$$

พิจารณา \left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

ยกกำลังสอง 1 ยกกำลังสอง \sqrt{5}

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}$$

ลบ 5 จาก 1 เพื่อรับ -4

$$\frac{\left(12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{-4}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจง โดยการคูณแต่ละพจน์ของ 12-6\sqrt{5}+2\sqrt{10} กับแต่ละพจน์ของ 1+\sqrt{5}

$$\frac{12+12\sqrt{5}-6\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

รวม 12\sqrt{5} และ -6\sqrt{5} เพื่อให้ได้รับ 6\sqrt{5}

$$\frac{12+6\sqrt{5}-6\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

รากที่สองของ \sqrt{5} คือ 5

$$\frac{12+6\sqrt{5}-6\times 5+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

คูณ -6 และ 5 เพื่อรับ -30

$$\frac{12+6\sqrt{5}-30+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

ลบ 30 จาก 12 เพื่อรับ -18

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{10}\sqrt{5}}{-4}$$

แยกตัวประกอบ 10=5\times 2 เขียนรากที่สองของผลิตภัณฑ์ \sqrt{5\times 2} เป็นผลคูณของตารางรากที่มีการ \sqrt{5}\sqrt{2}

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}}{-4}$$

คูณ \sqrt{5} และ \sqrt{5} เพื่อรับ 5

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+2\times 5\sqrt{2}}{-4}$$

คูณ 2 และ 5 เพื่อรับ 10

$$\frac{-18+6\sqrt{5}+2\sqrt{10}+10\sqrt{2}}{-4}$$

แยกตัวประกอบ

$$\frac{9 - \sqrt{10} - 3 \sqrt{5} - 5 \sqrt{2}}{2} = -3.9707747022666124$$