แก้โจทย์ 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

หาค่า x

$$x=-75$$

$$x=60$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -15,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4x\left(x+15\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+15,4

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x+60 ด้วย 75

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ 75 เพื่อรับ 300

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ \frac{1}{4} เพื่อรับ 1

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+15

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

รวม 300x และ 15x เพื่อให้ได้รับ 315x

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ลบ 315x จากทั้งสองด้าน

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

รวม 300x และ -315x เพื่อให้ได้รับ -15x

$$-15x+4500=x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น -x^{2}+ax+bx+4500 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -4500

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -15

$$a=60 b=-75$$

เขียน -x^{2}-15x+4500 ใหม่เป็น \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 75 ใน

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม -x+60 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข -x+60=0 และ x+75=0

$$x=60 x=-75$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -15,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4x\left(x+15\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+15,4

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x+60 ด้วย 75

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ 75 เพื่อรับ 300

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ \frac{1}{4} เพื่อรับ 1

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+15

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

รวม 300x และ 15x เพื่อให้ได้รับ 315x

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ลบ 315x จากทั้งสองด้าน

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

รวม 300x และ -315x เพื่อให้ได้รับ -15x

$$-15x+4500=x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ -1 แทน a, -15 แทน b และ 4500 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

ยกกำลังสอง -15

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 4 ด้วย 4500

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

เพิ่ม 225 ไปยัง 18000

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

หารากที่สองของ 18225

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

ตรงข้ามกับ -15 คือ 15

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{15±135}{-2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 15 ไปยัง 135

$$x=\frac{150}{-2}$$

หาร 150 ด้วย -2

$$x=-75$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{15±135}{-2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 135 จาก 15

$$x=-\frac{120}{-2}$$

หาร -120 ด้วย -2

$$x=60$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=-75 x=60$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า -15,0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4x\left(x+15\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ x,x+15,4

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4x+60 ด้วย 75

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ 75 เพื่อรับ 300

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

คูณ 4 และ \frac{1}{4} เพื่อรับ 1

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x ด้วย x+15

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

รวม 300x และ 15x เพื่อให้ได้รับ 315x

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ลบ 315x จากทั้งสองด้าน

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

รวม 300x และ -315x เพื่อให้ได้รับ -15x

$$-15x+4500=x^{2}$$

ลบ x^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ลบ 4500 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-15x-x^{2}=-4500$$

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$-x^{2}-15x=-4500$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

หารด้วย -1 เลิกทำการคูณด้วย -1

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

หาร -15 ด้วย -1

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

หาร -4500 ด้วย -1

$$x^{2}+15x=4500$$

หาร 15 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{15}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{15}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{15}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

เพิ่ม 4500 ไปยัง \frac{225}{4}

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}+15x+\frac{225}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

ลบ \frac{15}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=60 x=-75$$